KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K.
1. Định lí 1.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
- a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K.
- b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K.
2. Định lí 2.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
- a) Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.
- b) Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số f nghịch biến trên K.
- c) Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số f không đổi trên K.
Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f'(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a; b].
Ta thường biểu diễn qua bảng biến thiên như sau:
3. Định lí 3. (mở rộng của định lí 2)
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
- a) Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.
- b) Nếu f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f nghịch biến trên K.
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên tập xác định
- Bước 1: Tìm tập xác định D.
- Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x).
- Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.
- Bước 4: Lập bảng biến thiên.
- Bước 5: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
